要求解一个系统的稳态输出，需要根据系统的类型（如线性时不变系统、非线性系统等）、输入信号的性质（如阶跃信号、正弦信号等）以及系统的描述方法（如微分方程、状态空间模型等）。这里主要介绍线性时不变系统（LTI系统）的稳态输出求解方法：
对于LTI系统
系统描述和输入信号： 首先，确认系统的描述（传递函数、冲击响应、差分/微分方程）和输入信号的类型。
使用传递函数求解稳态输出： 如果系统以传递函数
H
(
s
)
H(s)
H(s) 描述，并且输入信号
X
(
s
)
X(s)
X(s) 是已知的，可以通过计算系统输出的拉普拉斯变换
Y
(
s
)
Y(s)
Y(s) 来求解。
Y
(
s
)
=
H
(
s
)
×
X
(
s
)
Y(s) = H(s) \times X(s)
Y(s)=H(s)×X(s)
对于稳态输出，我们关心的是
s
s
s 趋近于零的情形（对于直流输入）或者输入信号频率的特定值（对于周期性输入）。
正弦稳态响应： 对于正弦输入
x
(
t
)
=
A
sin
(
ω
t
+
ϕ
)
x(t) = A \sin(\omega t + \phi)
x(t)=Asin(ωt+ϕ)，其拉普拉斯变换是
X
(
s
)
=
A
ω
s
2
+
ω
2
X(s) = \frac{A\omega}{s^2 + \omega^2}
X(s)=s2+ω2Aω。将
X
(
s
)
X(s)
X(s) 代入
Y
(
s
)
=
H
(
s
)
X
(
s
)
Y(s) = H(s) X(s)
Y(s)=H(s)X(s)，然后通过求逆拉普拉斯变换找到
y
(
t
)
y(t)
y(t)。通常情况下，只需考虑系统对于频率为
ω
\omega
ω 的正弦波的响应。这可以通过计算
H
(
j
ω
)
H(j\omega)
H(jω) 来获得，其中
j
j
j 是虚数单位。系统的输出将是：
y
(
t
)
=
∣
H
(
j
ω
)
∣
A
sin
(
ω
t
+
ϕ
+
arg
(
H
(
j
ω
)
)
)
y(t) = |H(j\omega)| A \sin(\omega t + \phi + \arg(H(j\omega)))
y(t)=∣H(jω)∣Asin(ωt+ϕ+arg(H(jω)))
其中，
∣
H
(
j
ω
)
∣
|H(j\omega)|
∣H(jω)∣ 是振幅增益，
arg
(
H
(
j
ω
)
)
\arg(H(j\omega))
arg(H(jω)) 是相位移。
阶跃稳态响应： 对于阶跃输入
x
(
t
)
=
u
(
t
)
x(t) = u(t)
x(t)=u(t)，其拉普拉斯变换为
X
(
s
)
=
1
s
X(s) = \frac{1}{s}
X(s)=s1。计算
Y
(
s
)
=
H
(
s
)
1
s
Y(s) = H(s) \frac{1}{s}
Y(s)=H(s)s1，并求逆拉普拉斯变换找到
y
(
t
)
y(t)
y(t)。在稳态（
t
→
∞
t \to \infty
t→∞）时，输出
y
(
t
)
y(t)
y(t) 通常会趋于一个常数值，这个值可以通过计算
lim
s
→
0
s
Y
(
s
)
\lim_{s \to 0} sY(s)
lims→0sY(s) 来获取。
对于非线性或时变系统
对于非线性或时变系统，稳态输出的分析更为复杂，可能需要使用数值方法、仿真或者特定的解析技术来求解。通常，这些系统无法简单使用传递函数描述，而是需要依靠状态空间表示或非线性动力学分析。
实际应用
在工程实践中，通常使用计算软件（如MATLAB）来处理这些计算，尤其是在输入信号复杂或系统响应难以解析求解时。软件工具可以提供快速准确的稳态响应分析，特别是在设计控制系统或电子电路时。